陕西省扶风县扶风高中  王升录    邮编：722200

 

对于数列{n(n+1)…(n+K)}的前n项求和如果用公式S_n= ·n（n+1）…（n+k+1）来计算有两个优点：第一公式易记，第二计算过程简便，下面就公式的证明及应用做一说明。

一、公式的证明：（用数学归纳法）

1º，当n=1时，

左=S₁=a₁=1·2·3…（1+k）=（k+1）！

右= ·1·2·3…（1+k+1）=（k+1）！

2º，假设当n=m时，公式成立，即：

S_m= ·m·（m+1）…（m+k+1），那么，

= ·m·（m+1）…（m+k+1）+（m+1）（m+2）…（m+1+k）

=（ +1）（m+1）（m+2）…（m+1+k）

= （m+1）（m+2）…（m+k+1）（m+k+2）

即n=m+1时，公式成立。

根据1º，2º知，对于任何n∈N^*公式成立。

二、公式的应用

例1） 1+2+3+…+n，这里a_n=n，k=0，

∴S_n= ·n（n+1）

例2） 2+4+6…+n，这里a_n=2n,k=0,

∴S_n=2· ·n·（n+1）=n（n+1）

例3） 1·2+2·3+…+n·（n+1）,这里a_n=n（n+1）,k=1,

∴S_n= ·n·（n+1）（n+2）

例4） 1²+2²+…n²，这里a_n=n²=n（n+1）-n,k₁=1,k₂=0

∴S_n= ·n（n+1）（n+2）- ·n（n+1）

    = ·n（n+1）（2n+1）

例5） 1³+2³+…n³，

 这里a_n=n³=n（n+1）（n+2）-3n（n+1）+n

  k₁=2,k₂=1,k₃=0

∴S_n= ·n（n+1）（n+2）（n+3）- ·n（n+1）（n+2）+ ·n（n+1）

    =[ ·n（n+1）]²

例6） 2·3+3·4+…+（n+1）（n+2）

这里a_n=（n+1）（n+2）=n（n+1）+2n+2

k₁=1,k₂=0

∴S_n= ·n（n+1）（n+2）+ ·n（n+1）+2n

    = ·n（n²+6n+1）

例7） 2·3·1+3·4·4+4·5·7+…+（n+1）（n+2）（3n-2）

这里a_n=（n+1）（n+2）（3n-2）

       =3n（n+1）（n+2）-2n（n+1）-4n-4

k₁=2,k₂=1,k₃=0

∴S_n= ·n(n+1)(n+2)(n+3)- ·n(n+1)(n+2)- ·n(n+1)-4n

    = ·n（9n³+46n²+51n-34）

例8) 1+（1+9）+（1+9+25）+…+[1²+3²+5²+…+（2n-1）²]

这里a_n=1²+3²+…+（2n-1）²

a_n的通项a^′_n=（2n-1）²=4n（n+1）-8n+1

k^′₁=1,k^′₂=0

∴a_n= ·n（n+1）（n+2）-4n（n+1）+n

k₁=2,k₂=1,k₃=0

∴S_n= ·n（n+1）（n+2）（n+3）- ·n（n+1）（n+2）+ ·n（n+1）

    = ·n（n+1）（n²+n- ）

例9） (1·2+1·3+…+1·n)+(2·3+2·4+…+2·n)+…+[(n-1)n]

数列和变形为：

1·2+（1·3+2·3）+（1·4+2·4+3·4）+…+[1·n+2·n+…+(n-1)n]

该和为数列{1·（n+1）+2·（n+1）+…+n（n+1）}的前n-1项之和，而a_n=（1+2+3+…+n）（n+1）= ·n（n+1）（n+1）

     = ·n（n+1）[（n+2）-1]

     = ·n（n+1）（n+2）- ·n（n+1）

∴S_n= ·n（n+1）（n+2）（n+3）- ·n（n+1）（n+2）

∴S_n-1=S_n-a_n= ·n（n+1）（3n²-n+2）

例10） 求1·3·2²+2·4·3²·…的前n项和。

解：这里a_n=n（n+2）（n+1）²

          =n（n+1）（n+2）[（n+3）-2]

          =n（n+1）（n+2）（n+3）-2n（n+1）（n+2）

k₁=3, k₂=2

∴S_n= ·n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）- ·n（n+1）（n+2）（n+3）

    = ·n（n+1）（n+2）（n+3）（2n+3）

例11) 设数列的通项a_n=9n²+3n-2，求Sn

解：这里a_n=9n²+3n-2=（3n-1）（3n+2）

           =（3n-1）[3（n+1）-1]

           =9n（n+1）-3n-3（n+1）+1

           =9n（n+1）-6n-2

∴S_n= ·n（n+1）（n+2）- ·n（n+1）-2n

    =n（3n²+6n+1）

例12）求设a_n=n⁴+6n³+5n²，求S_n

解：a_n=n²（n+1）（n+5）

      =n（n+1）[（n+2）-2][（n+3）+2]

      =n（n+1）（n+2）（n+3）-6n（n+1）

∴S_n= ·n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）- ·n（n+1）（n+2）

    = ·n（n+1）（n+2）（n²+7n+2）

由以上例题可见，在运用公式求数列的前n项和时，一定要把数列的第n项a_n的变形为n（n+1）…（n+k）的代数和的形式，且这种变形很有规律性，实施起来并不困难。